Cho (O;R) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; 2 điểm C, D di động trên cung lớn AB sao cho AD//BC. Gọi M là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh \(MO⊥AD\)
b) Chứng minh điểm M luôn nằm trên đường tròn cố định
c) Chứng minh đường thẳng đi qua M và // với AD luôn đi qua một điểm cố định I. Tính IO theo R và AB=R
Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song với nhau. Gọi M là giao điểm của AC và BD . Chứng minh rằng:
1) 
, suy ra AOMB là tứ giác nội tiếp.
2) 
3) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định.
Cho đường tròn tâm O bán kính R và 1 dây cung BC cố định. A là điểm di động trên cung lớn BC. Gọi I là trung điểm AC.
a/ Chứng minh: I di động trên 1 đường tròn cố định
b/ Qua I vẽ đường thẳnd vuông góc với AB. Chứng minh: d luôn đi qua 1 điểm cố định
c/ Xác định vị trí A để diện tích tam giác ABC lớn nhất
d/ Trong tâm G tam giác ABC di động trên 1 đường cố định
a) Đặt J là trung điểm cạnh BC. Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây ta có ^OIC = ^OJC = 900
Vậy I thuộc đường tròn đường kính OC cố định (đpcm).
b) Kẻ đường kính BK của (O). d cắt CK tại điểm S. Ta có AK vuông góc AB, IS vuông góc AB
Suy ra IS // AK. Vì I là trung điểm cạnh AC của tam giác AKC nên S là trung điểm CK cố định (đpcm).
c) OJ cắt (O) tại hai điểm phân biệt là A' và L (A' thuộc cung lớn BC). Hạ AH vuông góc BC
Ta thấy \(AH+JL\le AL\le2R=A'L\Rightarrow AH\le A'L-JL=A'J\)
Suy ra \(S=\frac{AH.BC}{2}\le\frac{A'J.BC}{2}\)(không đổi). Vậy S lớn nhất khi A trùng A'.
d) Trên đoạn JB,JC lấy M,N sao cho JM = JN = 1/6.BC. Khi đó M,N cố định.
Đồng thời \(\frac{JG}{JA}=\frac{JM}{JB}=\frac{JN}{JC}=\frac{1}{3}\). Suy ra ^MGN = ^BAC = 1/2.Sđ(BC (Vì GM // AB; GN // AC)
Vậy G là các điểm nhìn đoạn MN dưới một góc không đổi bằng 1/2.Sđ(BC, tức là một đường tròn cố định (đpcm).
Chào chú Minh.
Cho đường tròn tâm (O;R) dây AB cố định ( AB < 2R) và C là một điểm di động trên cung lớn AB gọi N là điểm chính giữa cung nhỏ ab m là điểm chính giữa cung ac không chứa điểm b h là giao điểm của nm và ac không chứa điểm b, h là giao điểm của mn và ac k là giao điểm bm và cn
Xác định vị trí của điểm C thỏa mãn tứ giác AKBN có diện tích lớn nhất
cho đường tròn tâm O có AB là dây cung cố định không đi qua tâm O. Từ M bất kì trên cung lớn AB kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MN là đường cao của tâm giác AMN ( Q thuộc AN) a. Chứng minh AMHQ nội tiếp b. Gọi I là giao điểm của AB và MQ. Chứng minh tam giác BQM cân c. Kẻ MP vuông góc BN tại P. Xác định vị trí M sao cho MQ. AN+ MP. BN đạt giá trị max
Bài 4: Cho đường tròn (O) dây BC cố định không đi qua tâm O. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho AB
Cho đường tròn (O), AB là dây cố định không đi qua tâm. M là một điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB nhọn. Gọi D và C theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA, MB. Đường thẳng AC cắt đường thẳng BD tại I, đường thẳng CD cắt các cạnh MA và MB lần lượt tại P, Q.
a) Chứng minh tam giác ADI cân
b) Chứng minh tứ giác ADPI nội tiếp
c) Chứng minh PI = MQ
d) Tia MI cắt đường tròn (O) tại N. Khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung điểm của MN chuyển động trên đường nào ?
a: góc AID=1/2(sđ cung AD+sđ cung CB)
=1/2(sđ cung MD+sđ cung MC)
=1/2*sđ cung CD
=góc DAI
=>ΔAID cân tại D
b: góc PAI=góc PDI(1/2sđ cung MC=1/2sđ cung CB)
=>PDAI nội tiếp
Cho đường tròn tâm (O; R) dây cung AB di động nhưng có độ dài không đổi (AB = m, m< 2R). Gọi I là trung điểm của AB. Tính độ dài OI theo R và m. Từ đó suy ra điểm I di động trên một đường tròn cố định.
Cho đường tròn tâm O và dây AB, điểm M di động trên cung lớn AB các đường cao AE,BF của tam giác ABM cắt nhau ở H vẽ đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA,MB theo thứ tự tại E, D. CMR: ĐƯờng thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định
Cho đường tròn (O; R) và dây cung B C = R 3 cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định
Ta có BOC=120o ;BKC =60o suy ra BOC +BKC =1800 nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn.
Ta có OB=OC=R suy ra OB= OC=> BKO= CKO hay KO là phân giác góc BKC theo phần (a) KA
